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A

B

C

(a,b)

(0,2)

(x₃,y₃)

x₁

x₂

4

在視頻中看見這道題，國中時常作的一道題。年老了，再回頭練練三角幾何與代數，同時也練練SVG畫幾何圖型。 圖中有A,B,C三個圓。A是半徑爲2的半圓，圓心在（0,2），B是半徑爲4的1/4圓，圓心在（0,0）。C是和A,B兩圓相切的小圓。我們要把它的圓心算出。 先畫兩條通過小圓圓心（a,b)的兩直線。這直線可以通過相切點，所以可以得到如下之關係：

L1:Y=b−2aXL2:Y=baX(b−2)2+a2=(2+b)2a2=8b(a2+b2)+b=42a=22b=1\begin{aligned} L1:Y &= \frac{b-2}{a} X \\ L2:Y &= \frac{b}{a} X \\ (b-2)^2+a^2 &= (2+b)^2 \\ a^2 &= 8b \\ \sqrt(a^2+b^2)+b &= 4^2 \\ a &= 2\sqrt2 \\ b &= 1 \end{aligned}

再算算圓A與圓C相切點的位置, (c,d)。

c2+(d−2)2=22c2+d2−4d+4=4c=(4d−d2)(c−22)2+(d−1)2=12((4d−d2)−22)2+d2−2d+1=14d−d2−42(4d−d2)+8+d2−2d=02d+8=42(4d−d2)4d2+32d+64=32(4d−d2)9d2+24d+16=0d=43c=(163−169)c=423\begin{aligned} c^2+(d-2)^2 &= 2^2 \\ c^2+d^2-4d+4 &= 4 \\ c &= \sqrt(4d-d^2) \\ (c-2\sqrt2)^2+(d-1)^2 &= 1^2 \\ (\sqrt(4d-d^2)-2\sqrt2)^2+d^2-2d+1 &= 1 \\ 4d-d^2-4\sqrt2\sqrt(4d-d^2)+8+d^2-2d &= 0 \\ 2d+8 &= 4\sqrt2\sqrt(4d-d^2) \\ 4d^2+32d+64 &= 32(4d-d^2) \\ 9d^2+24d+16 &= 0 \\ d &=\frac{4}{3} \\ c &= \sqrt(\frac{16}{3}-\frac{16}{9}) \\ c &= \frac{4\sqrt2}{3} \end{aligned}

再作一條直線通過上圓切點且和L1相垂直。

x1x3‾:Y=−ab−2X+C43=22432+CY=22X−40=22x1−4x1=2\begin{aligned} \overline{x₁x₃}: Y &= -\frac{a}{b-2}X+C \\ \frac{4}{3} &= 2\sqrt2 \frac{4}{3}\sqrt2+C \\ Y &= 2\sqrt2X-4 \\ 0 &= 2\sqrt2x₁-4 \\ x₁ &= \sqrt2 \end{aligned}

再來算圓B與圓C的圓切點,(e,f)

e2+f2=42e=(16−f2)(e−22)2+(f−1)2=12(e2+f2)−42e−2f+8=024−2f=42(16−f2)576−96f+4f2=512−32f264−96f+36f2=0f=43e=823\begin{aligned} e^2+f^2 &= 4^2 \\ e &= \sqrt(16-f^2) \\ (e-2\sqrt2)^2+(f-1)^2 &= 1^2 \\ (e^2+f^2)-4\sqrt2e-2f+8 &= 0 \\ 24-2f &= 4\sqrt2\sqrt(16-f^2) \\ 576-96f+4f^2 &= 512-32f^2 \\ 64-96f+36f^2 &=0 \\ f &= \frac{4}{3} \\ e &= \frac{8\sqrt2}{3} \end{aligned}

再作一條直線x2x3‾\overline{x₂x₃}與L2垂直且經過(e,f)切點

x2x3‾:Y=−22X+C43=−22823+CY=−22X+120=−22x2+12x2=32\begin{aligned} \overline{x₂x₃}: Y &= -2\sqrt2X+C \\ \frac{4}{3} &= -2\sqrt2\frac{8\sqrt2}{3}+C \\ Y &= -2\sqrt2X+12 \\ 0 &= -2\sqrt2x₂+12 \\ x₂ &= 3\sqrt2 \end{aligned}

再下來就可以解出(x₃,y₃)

y3=−22x3+12y3=22x3−4y3=4x3=22\begin{aligned} y₃ &= -2\sqrt2x₃+12 \\ y₃ &= 2\sqrt2x₃-4 \\ y₃ &= 4 \\ x₃ &= 2\sqrt2 \end{aligned}

最終結果是圓C的圓心在(2√2,1),而以圓C爲內心圓的三角型的三頂點是(√2,0),(3√2,0),(2√2,4)

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